Programa de Introducción al Análisis Matemático

Introducción al Análisis Matemático
Unidad	Temas
Unidad 1 Números	Números Naturales Números Enteros Densidad de los Números Racionales Números Irracionales Números Reales Densidad, ubicación en la recta numérica Biyección Operaciones con Números Reales. Propiedades Intervalos de Números Reales. Desigualdades Propiedades. Valor Absoluto de un Número Real, Definición y propiedades. Ecuaciones e inecuaciones. Conjunto Acotado. Cotas superior e inferior. Supremo e Ínfimo de un conjunto. Propiedad fundamental de los Números Reales. Entorno y Entorno reducido
Unidad 2 Funciones y Modelos	Definición de Función Condición de Existencia y Unicidad Dominio, Codominio, Imagen de una Función Formas de expresión: Algebraica, par ordenado, Gráfica Contextos aritmético y geométrico Descripción de fenómenos usando Funciones Función definida explícitamente Funciones: Constante, Identidad, Módulo, Signos, Parte Entera, Mantisa Funciones definidas por secciones Simetría Funciones Crecientes y Decrecientes Modelos matemáticos, Modelo lineal Tipos de Funciones: Polinómicas, Racionales, Irracionales, Trigonométricas, Exponenciales, Logarítmicas Representación de gráficos de funciones determinando: Dominio, Recorrido, Perioricidad, Extremos, Asíntotas Transformaciones de Funciones Álgebra de Funciones: Suma, Resta, Multiplicación, División Composición de Funciones Función Inversa Clasificación de Funciones Pares e Impares, Inyectivas, Sobreyectivas, Biyectivas. Aplicaciones de Funciones Exponenciales y Logarítmicas
Unidad 3 Trigonometría	Sistemas de Medición de Ángulos Razones trigonométricas Circunferencia trigonométricas Signos de los diferentes cuadrantes Seno, Coseno, Tangente de Ángulos Particulares Propiedades, Deducción de distintas fórmulas trigonométricas Identidades fundamentales Ecuaciones Trigonométricas Teorema de Seno y del Coseno Funciones trigonométricas, gráficos, Dominio e Imagen, perioricidad, conjuntos de ceros, conjuntos de positividad y negatividad, intervalos de Crecimiento y Decrecimiento Funciones Hiperbólicas, Circulares inversas y Hiperbólicas inversas
Unidad 4 Sucesiones	Definición y tipo de Sucesiones Progresiones aritméticas y geométricas Suma de “n” primeros términos Noción de límite Definición de límite de una sucesión Propiedad de los límites Álgebra de límites Sucesiones monótonas Propiedades El número e como límite de una sucesión El número de oro Aplicaciones Límites indeterminados de las formas ∞/∞ ∞-∞ 1∞ Punto de Acumulación Encaje de intervalos Enunciado del teorema de Weierstrass
Unidad 5 Límite y Continuidad de Funciones	Noción de Límite finito, unicidad. Definición Límites laterales La no existencia de límites Propiedades de los límites finitos Función por partes Límite finito Generalización del concepto de límite Indeterminación del límite, casos de indeterminación Asíntotas lineales: vertical, horizontal y oblicua. Definición de la continuidad en un punto Clasificación de las discontinuidades Álgebra de las funciones continuas Consecuencias de la continuidad en un punto Continuidad en un conjuntos Teorema de Bolzano Teorema del Valor Intermedio, aplicaciones Extremos de funciones Teorema de Weierstrass

Conjuntos numéricos

Podemos distinguir a los distintos grupos numéricos de acuerdo a ciertos atributos o propiedades con las que cuentan que los hacen distintos entre los demás grupos, así

• El conjunto de los números ℕ (Naturales) son aquellos con los que contamos: 1,2,3,4,5,6,7,…

• Este conjunto comienza en el número 1, se puede determinar cual es el número anterior y siguiente en el conjunto si este existe y no tiene fin

• El conjunto de los números ℤ (Enteros) es el conjunto que integran a los ℕ, el 0 y los valores negativos del conjunto de ℕ, puede determinarse cual es el anterior o el siguiente dentro del conjunto

• El conjunto de los números ℚ (Racionales) este conjunto comprende un conjunto de números fraccionarios conformado con la forma ℤ/ℕ, este conjunto esta compuesto también por los ℤ ya que estos pueden expresarse como ℤ/1 y pueden representarse como un numero decimal con una cantidad limitada de decimales o con una repetición periódica de decimales, otra particularidad de los ℚ es que no se puede determinan cual es el anterior o siguiente ya que entre 2 valores del conjunto ℚ, existen infinitos números racionales

• El conjunto de los números 𝕀 (Irracionales), son aquellos que se expresan con una cantidad de decimales infinitas no periódicas, ejemplos de estos son e; Φ; π; √2; etc, también como en el conjunto anterior entre 2 números irracionales existen infinitos números irracionales, lo que hace imposible saber cual es el anterior y el siguiente

• El conjunto de los números ℝ (Reales) integran a los conjuntos ℚ y 𝕀, conforman un conjunto denso representan a todos los puntos de la recta y tienen con esta una relación biunívoca

• El conjunto de los i (imaginarios) son de la forma a+bi donde “a” es la parte real y “bi” la parte imaginaria, es decir que en todo número real su parte imaginaria vale 0

• El conjunto de los número ℂ (Complejos) comprende a todos los demás

Conjuntos e intervalos

Un conjunto “A” es una conformación de un grupo de componentes “a” llamados elementos del conjunto tal que “a pertenece a A” (a ∈ A), a la vez de que haya elementos que no pertenezcan al conjunto “A” tal que (b ∉ A)

Formas de Nombrar un conjunto

Existen distintas formas de nombrar a los conjuntos:

Por extensión: cuando se nombras a todos los elementos del conjunto

Por comprensión: cuando el conjunto es definido en base a una o varias reglas que deben cumplir cada elemento del conjunto.

Habrá conjuntos que se los podrá definir de ambas formas y habrá otras que solo se podrá apelar a una de ellas. Ej:

A ={2; 4; 6; 8} por extensión

A ={X/X ∈ ℕ y 2 ⩽ X ⩽ 8} por comprensión ( se refiere a los número naturales entre 2 y 8 inclusives

B = {Ana, Marcela, Julio, Horacio, el hombre araña} difícilmente este conjunto se pueda expresar por comprensión

C={M / M es un mamífero de 4 patas} o C={M / M ∈ “Mamíferos de 4 patas”} este conjunto que comprende a cualquier mamífero de 4 patas no puede expresarse por extensión.

Operaciones con conjuntos

Existen una serie de operaciones que se pueden realizar entre los conjuntos. Sea A y B conjuntos

Unión A ∪ B

Es el conjunto formado por ∀ los “e” de A ó ∀ los “e” de B o de ambos

A ⋃ B = { e ∈ A ∪ B ⇔ e ∈ A ⋁ e ∈ B }

A ⋃ B = {a; b; c; d; f; g; 1; 2; 3; 4; 5}

Intersección A ∩ B

Es el conjunto formado por ∀ los “e” de A y ∀ los “e” de B conjuntamente

A ⋂ B = { e ∈ A ∩ B ⇔ e ∈ A ⋀ e ∈ B }

En este caso el elemento “e” debe pertenecer a ambos conjuntos a la vez

A ⋂ B = { b; d; g; 1; 3; 4 }

Diferencia Simétrica A ⊻ B

A ⊻ B = {e ∈ A ⋁ e ∈ B ⋀ e ∉ A ∩ B}

En este caso el elemento “e” pertenece a A o pertenece a B pero no a ambos simultáneamente

A ⊻ B = {a; c; e; f; 2; 5}

Nota: Si un conjunto no tiene elementos se denota ∅ o {}

Intervalos en ℝ Cotas Extremos, Máximos, Mínimos

Intervalos en ℝ Cotas Extremos, Máximos, Mínimos

Los intervalos son subconjuntos y se los puede considerar segmentos de la recta numérica.

Sea A un conjunto con a y b 2 números reales cualesquiera con la relación a < b, así podemos definir los siguientes intervalos numéricos

Casos particulares obtenemos cuando los intervalos no tienen principio o fin, se utiliza el símbolo de infinito “∞” negativo o positivo, pero esto no es un número y significa que no existe un valor inicial ni final

 

Conjunto	Definición	CCI	CCS	Ei	Es	Mn	Mx
A = (a;b)	A = {x/ a < x < b}	(∞-;a]	[b;∞+)	a	b	∄	∄
A = [a;b)	A = {x/ a ⩽ x < b}	(∞-;a]	[b;∞+)	a	b	a	∄
A = (a;b]	A = {x/ a < x ⩽ b}	(∞-;a]	[b;∞+)	a	b	∄	b
A = [a;b]	A = {x/ a ⩽ x ⩽ b}	(∞-;a]	[b;∞+)	a	b	a	b
A = (a;∞+)	A = {x/ a < x}	(∞-;a]	∅	a	∄	∄	∄
A = (∞-; b)	A = {x/ x < b}	∅	[b;∞+)	∄	b	∄	∄
A = (∞-;∞+)	A = {x/ x ∈ ℝ}	∅	∅	∄	∄	∄	∄
A = [a;∞+)	A = {x/ a ⩽ x}	(∞-;a]	∅	a	∄	a	∄
A = (∞-;b]	A = {x/ x ⩽ b}	∅	[b;∞+)	∄	b	∄	b

Definiciones

Conjunto de Cotas inferiores (CCI): Es el conjunto de Ɐ x ⩽ Ei. Si extremo es ∞ el CCI es ∅

Conjunto de Cotas superiores (CCS): Es el conjunto de Ɐ x ⩾ Es. Si extremo es ∞ el CCS es ∅

Extremo inferior o ínfimo (Ei): Es la mayor de las cotas inferiores

Extremo superior o supremo (Es): Es la menor de las cotas superiores

Mínimo (Mn): Es la mayor de las cotas inferiores y ∃ mínimo ⇔ Ei ∈ A

Máximo (Mx): Es la menor de las cotas superiores y ∃ mínimo ⇔ Es ∈ A

Propiedad del extremo inferior y del extremo superior o Axioma de la Completitud

∀ subconjunto S no vacío de ℝ acotado superiormente , posee extremo superior o supremo

∀ subconjunto S no vacío de ℝ acotado inferiormente , posee extremo inferior o infimo

Relación entre Recta y ℝ

Podemos pensar a una recta como una seguidilla de puntos alineados en orden donde genéricamente un punto cualquiera “a” es menor que otro “b” si convenimos que “a < b” solo porque el punto “a” se encuentra a la izquierda del punto “b”, por consiguiente en la medida que nos movemos en la recta hacia la derecha los puntos de la misma tendrían un valor positivo mayor.

Ahora marquemos en esta recta un punto de origen “C”ⁱ, pero este lo vamos a colocar en el centro de esta recta, de manera que el punto “a” quede a la izquierda del punto “c”.

Al marcar el punto “c” como origen valdrá “0” por lo tanto todo punto ubicado a la izquierda según nuestras reglas será menor a “0”.

Para generalizar estos conceptos también asumiremos que los extremos van hacia el infinito negativo a la izquierda y positivo a la derecha.

Con todo lo expresado podemos decir que cada punto de la recta tiene un valor numérico donde “c”= 0; “a”0 y donde cada punto podemos asociar a un valor y cada valor pertenece al conjunto ℝ.

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